Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Poniżej zapisano cztery tożsamości trygonometryczne, czyli równości, które są prawdziwe dla dowolnego kąta α. Pierwsza z tych równości nazywana jest jedynką trygonometryczną.

$\boldsymbol{sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1}$

$\boldsymbol{tg \; \alpha =\frac{sin \; \alpha }{cos \; \alpha }}$

$\boldsymbol{ctg \; \alpha =\frac{cos \; \alpha }{sin \; \alpha }}$

$\boldsymbol{tg \; \alpha \cdot ctg \; \alpha =1}$

Zapis sin²α (czytaj: sinus kwadrat alfa) oznacza drugą potęgę liczby sin α, czyli sin² α = (sin α)².

Uzasadnimy teraz równość sin²α + cos²α = 1.

Stosując oznaczenia jak na powyższym rysunku, otrzymujemy

$sin \; \alpha =\frac{a}{c}\; \; \; \textrm{i}\; \; \; cos \; \alpha =\frac{b}{c}$

Przekształcamy lewą stronę równości wykorzystując twierdzenia Pitagorasa a² + b² = c². Zatem:

$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =\left(\frac{a}{c} \right)^{2}+\left(\frac{b}{c} \right)^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}=1$

Oto uzasadnienie równości

$tg\; \alpha =\frac{sin\; \alpha }{cos\; \alpha }$

Przekształcamy prawą stronę równości tak, aby otrzymać lewą stronę.

$\frac{sin\; \alpha }{cos\; \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}=tg\; \alpha$

Przykład

Oblicz cos α, jeśli sin α = 5/13.

sin² α + cos² α = 1, zatem cos² α = 1 - sin² α; ponieważ cos α > 0, więc

$cos\; \alpha =\sqrt{1-sin^{2}\alpha }=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13} \right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$

Przykład

Sprawdź tożsamość

$\frac{1-sin\; \alpha }{sin\; \alpha }\cdot \frac{1+sin\; \alpha }{cos\; \alpha }=ctg\; \alpha .$

Przekształcamy lewą stronę równości tak, aby otrzymać prawą stronę.

$\frac{\left(1-sin\; \alpha \right)\left(1+sin\; \alpha \right)}{sin\; \alpha \; cos\; \alpha }=\frac{1-sin^{2}\alpha }{sin\; \alpha \; cos\; \alpha }=\frac{cos^{2}\alpha }{sin\; \alpha \; cos\; \alpha }=\frac{cos\; \alpha }{sin\; \alpha }=ctg\; \alpha$

Porównując wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych tego samego trójkąta prostokątnego, otrzymamy równości, które zostały zapisane poniżej.

sin(90^o - α) = cos α

cos(90^o - α) = sin α

tg(90^o - α) = ctg α

ctg(90^o - α) = tg α

Przykłady

i) Zapisz w prostszej postaci iloczyn tg 37^o⋅sin 53^o.

$tg\; 37^{\circ} \cdot sin\; 53^{\circ} =\frac{sin\; 37^{\circ} }{cos\; 37^{\circ} }\cdot sin\left(90^{\circ} -37^{\circ} \right)=\frac{sin\; 37^{\circ} }{cos\; 37^{\circ} }\cdot cos\; 37^{\circ} =sin\; 37^{\circ} \;$

ii) Wiedząc, że

$tg\; 75^{\circ} =2+\sqrt{3}$

oblicz tg 15^o.

$\\tg\; 15^{\circ} =tg(90^{\circ} -75^{\circ} )=ctg\; 75^{\circ} =\frac{1}{tg\; 75^{\circ} }=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\; \; \; \; =2-\sqrt{3}$