Możemy mówić o zbiorze liczb (np. liczb naturalnych, liczb ujemnych, liczb, które są rozwiązaniami nierówności), zbiorze punktów tworzących figurę geometryczną, o zbiorze figur (trapezów, prostokątów, trójkątów, trójkątów rozwartokątnych) itp.
Omówimy teraz podstawowe pojęcia i oznaczenia dotyczące zbiorów.
- "Przedmioty", z których utworzony jest zbiór, nazywamy elementami tego zbioru.
- Zbiory oznaczamy zazwyczaj dużymi literami, a ich elementy małymi.
- Zdanie: Element p należy do zbioru A. możemy zapisać: p ∈ A (symbol ∈ czytamy: należy do).
- Zdanie: a nie jest elementem zbioru A. możemy zapisać krócej w następujący sposób: a ∉ A.
- Zbiór, który nie ma żadnego elementu, nazywamy zbiorem pustym. Taki zbiór oznaczamy symbolem ∅.
p ∈ A
q ∉ A
Przykłady zbiorów nieskończonych
- zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
- zbiór liczb naturalnych parzystych
- zbiór wszystkich punktów prostej
- zbiór wszystkich prostokątów
Przykłady zbiorów skończonych
- zbiór liczb naturalnych mniejszych od 4
- zbiór wierzchołków siedmiokąta
- zbiór punktów przecięcia stu prostych
- zbiór rozwiązań równania 2x + 1 = 7
UWAGA: Zbiór pusty też jest zbiorem skończonym.
Definicja: Jeśli do zbioru B należą wszystkie elementy zbioru A, to mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B. Mozemy to zapisać w skrócie A ⊂ B. Mówimy też, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B.
p ∈ A ⇒ p ∈ B
Definicja: Cześć wspólna zbiorów A i B to zbiór, którego wszystkie elementy należą jednocześnie do obu zbiorów. Część wspólną zbiorów A i B oznaczać będziemy A ∩ B. Część wspólna zbiorów nazywana jest też iloczynem zbiorów.
Jeżeli dwa zbiory nie mają wspólnych elementów, to mówimy, że są rozłączne. Możemy więc powiedzieć, że zbiory A i B są rozłączne, jeśli A ∩ B = ∅.
Jeżeli dwa zbiory nie mają wspólnych elementów, to mówimy, że są rozłączne. Możemy więc powiedzieć, że zbiory A i B są rozłączne, jeśli A ∩ B = ∅.
p ∈ A ∩ B ⇔ p ∈ A i p ∈ B
Definicja: Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór utworzony z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B (do sumy dwóch zbiorów należą wszystkie elementy obu tych zbiorów). Sumę zbiorów A i B oznaczać będziemy symbolem A ∪ B.
p ∈ A ∪ B ⇔ p ∈ A lub p ∈ B
Definicja: Zbiór utworzony z wszystkich elementów zbioru A, które nie należą do zbioru B, nazywamy różnicą zbiorów A i B. Zbiór ten oznaczać będziemy w skrócie A \ B
p ∈ A \ B ⇔ p ∈ A i p ∉ B
Przyjmujemy następujące oznaczenia:
