Łatwo zauważyć, że wzory te niewiele się od siebie różnią. Podobieństwo to skłania do szukania innych związków między rozwiązaniami a współczynnikami a, b i c równania kwadratowego. Spróbujmy obliczyć sumę liczb x1 i x2:
Otrzymaliśmy prosty wzór pozwalający obliczyć sumę rozwiązań równania kwadratowego. Podobnie prosty wzór otrzymamy, obliczając iloczyn rozwiązań:
Wzory te odkrył już w XVI wieku francuski matematyk François Viète. Dlatego też nazywane są one wzorami Viète'a.
Twierdzenie:
Jeśli liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania kwadratowego
to zachodzą równości:
Jeśli liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania kwadratowego
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),
to zachodzą równości:
Zwróc uwagę, że wzory Viète'a możemy stosować tylko wtedy, gdy mamy pewność, że równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
Zauważ, że jeśli wiemy, jakie znaki mają iloczyn i suma dwóch liczb, to możemy określić znaki tych liczb.
Liczby x1 i x2 są różnych znaków, gdy x1⋅x2 < 0.
Liczby x1 i x2 są tego samego znaku, gdy x1⋅x2 > 0.
Liczby x1 i x2 są dodatnie, gdy x1⋅x2 > 0 i x1 + x2 > 0.
Liczby x1 i x2 są ujemne, gdy x1⋅x2 > 0 i x1 + x2 < 0.
Korzystając ze wzorów Vièt'a, możemy więc ustalić znaki rozwiązań równania kwadratowego bez konieczności rozwiązywania tego równania.
Przykład
Sprawdź, ile dodatnich rozwiązań ma równanie:Sprawdzamy, czy równanie ma dwa rozwiązania. W tym celu obliczamy Δ
Oba rozwiązania są dodatnie lub oba są ujemne
Skoro dodatkowo x1 + x2 > 0, to oba rozwiązania są dodatnie
Odp. Równanie ma dwa dodatnie rozwiązania.
Wzory Viète'a przydają się także w bardziej złożonych obliczeniach.
Przykład
Oblicz sumę odwrotności rozwiązań równania:Sprawdzamy, czy równanie ma dwa rozwiązania i czy istnieją odwrotności tych rozwiązań, tzn. czy x1 ≠ 0 i x2 ≠ 0 (wystarczy sprawdzić, że x1 ⋅ x2 ≠ 0)
Odp. Suma odwrotności rozwiązań równania wynosi -2.
CIEKAWOSTKA: François Viète (1540 - 1603) z wykształcenia był prawnikiem, ale najbardziej znany jest ze swych osiągnięć matematycznych (choć w tej dziedzinie był tylko samoukiem). Jako pierwszy wpadł na pomysł, by w równaniach oznaczyć literami nie tylko niewiadome, ale także współczynniki. Dzięki temu mógł odkryć swoje słynne wzory.
Viète był znany ze swej sprawności w rozwiązywaniu równań. W 1594 roku holenderski matematyk Adrian Van Roomen rzucił innym matematykom wyzwanie, prezentując bardzo skomplikowane równanie 45 stopnia (czyli takie, w którym niewiadoma występuje w 45 potędze), którego, jak sądził, nikt nie będzie w stanie rozwiązać. Ku jego zdumieniu, Viète bardzo szybko znalazł 23 rozwiązania tego równania. Innym słynnym wyczynem Viète'a było złamanie szyfru, którym posługiwał się król Hiszpanii w swojej tajnej korespondencji. Hiszpanie nie mogli uwierzyć, że mógł tego dokonać zwykły człowiek i zwrócili się do papieża ze skargą, że Francuzi używają czarnej magii.
Viète był znany ze swej sprawności w rozwiązywaniu równań. W 1594 roku holenderski matematyk Adrian Van Roomen rzucił innym matematykom wyzwanie, prezentując bardzo skomplikowane równanie 45 stopnia (czyli takie, w którym niewiadoma występuje w 45 potędze), którego, jak sądził, nikt nie będzie w stanie rozwiązać. Ku jego zdumieniu, Viète bardzo szybko znalazł 23 rozwiązania tego równania. Innym słynnym wyczynem Viète'a było złamanie szyfru, którym posługiwał się król Hiszpanii w swojej tajnej korespondencji. Hiszpanie nie mogli uwierzyć, że mógł tego dokonać zwykły człowiek i zwrócili się do papieża ze skargą, że Francuzi używają czarnej magii.
