Popatrz na poniższy rysunek. Każda z poziomych linii przecina wykres funkcji f tylko w jednym punkcie. Gdybyśmy poprowadzili dowolną linię poziomą, to miałaby ona z wykresem funkcji co najwyżej jeden punkt wspólny. Oznacza to, że każdą wartość funkcja przyjmuje tylko raz.
Funkcja f spełnia zatem warunek: dla dowolnych dwóch różnych argumentów wartości odpowiadające tym argumentom są różne. O takiej funkcji mówimy, że jest różnowartościowa.
Definicja: Funkcję f nazywamy różnowartościową, jeżeli dla dowolnych argumentów x1 i x2 spełniony jest warunek: jeśli x1 ≠ x2, to f(x1) ≠ f(x2).
Aby stwierdzić, że dana funkcja nie jest różnowartościowa, wystarczy wskazać takie dwa argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość. Funkcja g, której wykres przedstawiono na rysunku poniżej, przyjmuje dla argumentów x1 i x2 tę samą wartość, nie jest więc różnowartościowa.
Każda funkcja rosnąca i każda funkcja malejąca jest różnowartościowa. Można oczywiście podać przykłady funkcji, która jest równowartościowa, a nie jest rosnąca ani malejąca.
Wykres funkcji f przedstawiony na rysunku poniżej jest osiowosymetryczny. Oś y jest osią symetrii tego wykresu, zatem funkcja f dla dowolnych dwóch argumentów, które są liczbami przeciwnymi, przyjmuje jednakowe wartości. Innymi słowy: jeśli liczby x i -x są argumentami funkcji f, to f(x) = f(-x). Takie funkcje nazywamy parzystymi.
Definicja: Funkcję f nazywamy parzystą, jeśli dla każdego argumentu x liczba -x także należy do dziedziny funkcji oraz zachodzi równość f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny do siebie względem osi y.
Wykres funkcji g przedstawiony poniżej jest środkowosymetryczny, a środkiem symetrii tego wykresu jest początek układu współrzędnych. Zatem dla dowolnych dwóch argumentów, które są liczbami przeciwnymi, wartości funkcji g także są liczbami przeciwnymi. Innymi słowy: jeśli liczby x i -x są argumentami funkcji g, to g(-x) = -g(x). Takie funkcje nazywamy nieparzystymi.
Definicja: Funkcję f nazywamy nieparzystą, jeśli dla każdego argumentu x liczba -x także należy do dziedziny funkcji oraz zachodzi równość f(-x) = -f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny do siebie względem początku układu współrzędnych.
Aby stwierdzić, czy funkcja dana wzorem jest parzysta czy nieparzysta, nie musimy znać wykresu funkcji - możemy skorzystać ze wzoru.
Przykład
Wykaż, że funkcjaDziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dla dowolnego argumentu x liczba -x też należy do dziedziny.
Zapisujemy wartość funkcji dla argumentu -x
Funkcja f jest zatem funkcją parzystą.
Przykład
Wykaż, że funkcjaDziedziną funkcji f jest zbiór R\{0}, zatem spełniony jest warunek: jeśli x należy do dziedziny, to -x także należy do dziedziny.
Zapisujemy wartość funkcji dla argumentu -x
Funkcja f jest zatem funkcją nieparzystą.
Istnieją oczywiście funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Aby stwierdzić, że funkcja f dana wzorem nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, wystarczy znaleźć taki argument a, dla którego f(a) ≠ f(a) oraz taki argument b, dla którego f(-b) ≠ -f(b).
Na przykład funkcja f(x) = x3 + x2 + 2 nie jest parzysta, gdyż f(2) = 14, f(-2) = -2, czyli f(-2) ≠ f(2). Nie jest też funkcją nieparzystą, bo f(-2) ≠ -f(2).
Dla funkcji f, której wykres przedstawiono poniżej, można wskazać taką liczbę t, że wartość funkcji dla argumentów różniących się o t są takie same. Dla funkcji f liczba t jest na przykład równa 6.
Wynika stąd, że dla dowolnego argumentu x zachodzą równości:
f(x) = f(x+6) = f(x + 2⋅6) = f(x + 3⋅6) = f(x + 4⋅6) itd.,
a także f(x) = f(x - 6) = f(x - 2⋅6) = f(x - 3⋅6) = f(x - 4⋅6) itd.
Ogólnie f(x) = f(x + k⋅6), gdzie k jest liczbą całkowitą. Takie funkcje nazywamy okresowymi.
Definicja: Funkcję f nazywamy okresową, jeśli istnieje taka liczba t > 0, że dla każdego argumentu x liczba x + kt, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, też należy do dziedziny funkcji oraz f(x) = f(x + kt). Liczbę t nazywamy okresem funkcji.
Jeśli istnieje najmniejsza liczba dodatnia t, która jest okresem funkcji, to nazywamy ją okresem zasadniczym.
UWAGA: Można podać przykłady funkcji okresowych, które nie mają okresu zasadniczego. Taką funkcją jest na przykład funkcja stała określona na zbiorze liczb rzeczywistych. Jej okresem jest każda liczba dodatnia (a wśród liczb dodatnich nie ma najmniejszej).
Gdy funkcja jest okresowa, wystarczy znać jej wartość w pewnym przedziale, aby wiedzieć, jakie ma wartości w całej dziedzinie.
Przykład
Funkcja g przedstawiona na poniższym wykresie jest funkcją okresową o okresie 5.Oblicz g(203) i g(-148).
Przedstawiamy liczbę 203 w postaci a + 5k, gdzie a < 5
203 = 3 + 200 = 3 + 40⋅5
Korzystamy z tego, że funkcja g jest funkcją okresową o okresie 5 i odczytujemy g(3) z wykresu
g(203) = g(3 + 40⋅5) = g(3) i g(3) = -2
g(203) = -2
-148 = 2 - 150 = 2 - 30⋅5
g(-148) = g(2 - 30⋅5) = g(2) i g(2) = 2
g(-148) = 2
