Definicja: Wielokąt, którego wszystkie boki mają równe długości i wszystkie kąty mają równe miary, nazywamy wielokątem foremnym.
Zwróć uwagę, że trójkąty foremne to trójkąty równoboczne, a czworokąty foremne to kwadraty.CIEKAWOSTKA: Teoria wielokątów foremnych była jednym ze znakomitych osiągnięć szkoły pitagorejskiej. Pitagorejczycy potrafili za pomocą cyrkla i linijki wpisać w okrąg trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny. Potrafili także skonstruować wielokąt foremny o liczbie boków dwukrotnie większej od liczby boków danego wielokąta (a więc np. znając konstrukcję kwadratu wpisanego w okrąg, potrafili też zbudować 8-kąt foremny, 16-kąt foremny itd.).
Starożytnym uczonym nie udało się jednak skonstruować niektórych wielokątów foremnych, na przykład: 7-kąta, 9-kata czy 17-kata. Próby trwały wiele stuleci.
Po pitagorejczykach w teorii wielokątów nie odkryto niczego przez ponad 2000 lat. Dopiero w 1801 roku matematyk niemiecki Carl Friedrich Gauss pokazał, jak skonstruować 17-kąt foremny. Niedługo potem uzasadnił, że nie można skonstruować 7-kąta ani 9-kąta foremnego. Sformułował też twierdzenie pozwalające łatwo sprawdzić, czy dla danego n można skonstruować n-kąt foremny.
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg (tzn. skonstruować okrąg, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki wielokąta).Starożytnym uczonym nie udało się jednak skonstruować niektórych wielokątów foremnych, na przykład: 7-kąta, 9-kata czy 17-kata. Próby trwały wiele stuleci.
Po pitagorejczykach w teorii wielokątów nie odkryto niczego przez ponad 2000 lat. Dopiero w 1801 roku matematyk niemiecki Carl Friedrich Gauss pokazał, jak skonstruować 17-kąt foremny. Niedługo potem uzasadnił, że nie można skonstruować 7-kąta ani 9-kąta foremnego. Sformułował też twierdzenie pozwalające łatwo sprawdzić, czy dla danego n można skonstruować n-kąt foremny.
Każdy wielokąt foremny można więc podzielić na jednakowe (przystające) trójkaty równoramienne. Korzystając z tego faktu, można łatwo obliczyć miarę kąta wewnętrznego n-kąta.
Każdy n-kąt foremny można podzielić na n jednakowych (przystających) trójkątów równoramiennych o kącie między ramionami równym 360o/n. Kąt przy podstawie każdego z tych trójkątów ma miarę
a kąt wewnętrzny n-kata foremnego ma miarę dwa razy więksżą. Zatem
Twierdzenie: Każdy kąt n-kąta foremnego ma miarę
CIEKAWOSTKA: Za pomocą cyrkla i linijki nie można skonstruować niektórych wielokątów foremnych, np. nie można skonstruować 7-kąta foremnego ani 9-kąta foremnego. Istnieją jednak konstrukcje przybliżone.
Opisaną poniżej metodę rysowania 7-kąta foremnego znali matematycy arabscy już w X wieku. Wiadomo, że posługiwał się nią Leonardo da Vinci, a także Albrecht Dürer.
Długość odcinka wyznaczonego według tego opisu jest bardzo dobrym przybliżeniem długości boku 7-kąta foremnego wpisanego w okrąg (błąd względny wynosi około 0,2%).
Przybliżona konstrukcja 7-kąta foremnego:
1. Narysuj dowolny okrąg. Niech S oznacza środek tego okręgu.
2. Zaznacz na narysowanym okręgu dowolny punkt S' i narysuj okrąg o środku S' i takim samym promieniu jak poprzedni okrąg.
3. Niech A i B oznaczają punkty przecięcia narysowanych okręgów.
4. Znajdź punkt przecięcia prostej AB z prostą SS'. Oznacz ten punkt literą P.
5. Długość boku siedmiokąta foremnego wpisanego w narysowany okrąg o środku S jest w przybliżeniu równa |AP|.
Opisaną poniżej metodę rysowania 7-kąta foremnego znali matematycy arabscy już w X wieku. Wiadomo, że posługiwał się nią Leonardo da Vinci, a także Albrecht Dürer.
Długość odcinka wyznaczonego według tego opisu jest bardzo dobrym przybliżeniem długości boku 7-kąta foremnego wpisanego w okrąg (błąd względny wynosi około 0,2%).
Przybliżona konstrukcja 7-kąta foremnego:
1. Narysuj dowolny okrąg. Niech S oznacza środek tego okręgu.
2. Zaznacz na narysowanym okręgu dowolny punkt S' i narysuj okrąg o środku S' i takim samym promieniu jak poprzedni okrąg.
3. Niech A i B oznaczają punkty przecięcia narysowanych okręgów.
4. Znajdź punkt przecięcia prostej AB z prostą SS'. Oznacz ten punkt literą P.
5. Długość boku siedmiokąta foremnego wpisanego w narysowany okrąg o środku S jest w przybliżeniu równa |AP|.
