Zwróć uwagę, że do wielokąta należą nie tylko wszystkie punkty tworzące jego boki, ale też punkty leżące wewnątrz wielokąta.
Cztery wielokąty spośród narysowanych powyżej spełniają warunek: dla dowolnych dwóch punktów wielokąta odcinek, którego końcami są te punkty, zawiera się w tym wielokącie. Wielokąty spełniające ten warunek nazywamy wielokątami wypukłymi.
Zauważ, że wszystkie kąty wielokąta wypukłego to kąty o mierze większej od 0o i mniejszej od 180o (są to kąty wypukłe). W wielokącie niewypukłym co najmniej jeden kąt jest kątem wklęsłym.
UWAGA: Figurę nazywamy wypukłą, gdy dla dowolnych dwóch punktów A i B należących do tej figury odcinek AB zawiera się w tej figurze.
Wszystkie trójkąty, wszystkie trapezy (czyli również równoległoboki, romby, prostokąty i kwadraty), a także koło, prosta, odcinek, półpłaszczyzna to przykłady figur wypukłych. Okrąg, kąt wklęsły, pierścień to przykłady figur niewypukłych
Wiemy już, że suma miar kątów trójkąta jest równa 180o, a suma miar kątów czworokąta wynosi 360o. Zastanówmy się, co możemy powiedzieć o sumie miar kątów n-kąta, czyli wielokata, który ma n wierzchołków (oczywiście n ≥ 3).Wszystkie trójkąty, wszystkie trapezy (czyli również równoległoboki, romby, prostokąty i kwadraty), a także koło, prosta, odcinek, półpłaszczyzna to przykłady figur wypukłych. Okrąg, kąt wklęsły, pierścień to przykłady figur niewypukłych
Z jednego wierzchołka n-kąta wypukłego można poprowadzić n - 3 przekątne, dzielące ten wielokąt na n - 2 trójkąty. Suma miar kątów tych trójkątów wynosi (n - 2) ⋅ 180o i jest równa sumie miar kątów n-kąta. Dla n-kątów niewypukłych suma miar kątów jest także równa (n - 2) ⋅ 180o (ale uzasadnienie tego twierdzenia jest dość skomplikowane). Możemy zatem korzystać z następującego twierdzenia:
Twierdzenie: Suma miar kątów n-kąta wynosi (n - 2) ⋅ 180o.
Wyobraź sobie, że z każdego wierzchołka n-kąta rysujemy wszystkie wychodzące z niego przekątne. Postępując w ten sposób, narysowalibyśmy n ⋅ (n - 3) odcinków, każdy dwukrotnie. Zatem:
Twierdzenie: Liczba przekątnych w n-kącie wynosi
}{2}})
.
