Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30, 45 i 60 stopni

Z poniższej tabeli można odczytać przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych. Korzystając z zależności między bokami w pewnych trójkątach, możemy wyznaczyć dokłądne wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30^o, 45^o i 60^o.

Aby obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 45^o, korzystamy z tego, że trójkąt prostokątny o kącie ostrym 45^o jest połową kwadratu.

$sin\; 45^{\circ} = \frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\; 45^{\circ} = \frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$tg \; 45^{\circ} =\frac{a}{a}=1$

$ctg \; 45^{\circ} =\frac{a}{a}=1$

Obliczając wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30^o i 60^o, korzystamy z tego, ąe trójkąt o kątach 30^o, 60^o i 90^o to połowa trójkąta równobocznego.

$sin\; 30^{\circ} =\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}$

$cos\; 30^{\circ} =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg\; 30^{\circ} =\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$ctg\; 30^{\circ} =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{3}$

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 60^o.

$sin\; 60^{\circ} =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos\; 60^{\circ} =\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}$

$tg\; 60^{\circ} =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{3}$

$ctg\; 60^{\circ} =\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

W tabelce zebrano wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30^o, 45^o i 60^o.

α	30^o	45^o	60^o
sin α	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos α	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tg α	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$
ctg α	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Zadania dotyczące trójkątów prostokątnych równoramiennych oraz trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30^o i 60^o rozwiązywaliśmy już wcześniej. Korzystając z tabelki, możemy rozwiązać tego typu zadania także za pomocą funkcji trygonometrycznych.

Przykład

Oblicz długości boków prostokąta przedstawionego na rysunku.

$\frac{a}{6}=sin \; 30^{\circ} \; \; \; \frac{b}{6}=cos \; 30^{\circ} \;$

Korzystamy z wartości funkcji trygonometrycznych kąta 30^o.

$\frac{a}{6}=\frac{1}{2}\; \; \; \; \frac{b}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a=3\; \; \; \; b=3\sqrt{3}$

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30^o, 45^o i 60^o

Wartości funkcji trygonometrycznych
dla kątów 30^o, 45^o i 60^o

Przykład

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30o, 45o i 60o

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30o, 45o i 60o

Przykład

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30^o, 45^o i 60^o

Wartości funkcji trygonometrycznych
dla kątów 30^o, 45^o i 60^o