Zaczniemy od własności dotyczącej boków trójkąta, zwanej nierównością trójkąta.
Twierdzenie: Suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta jest większa niż długość trzeciego boku.
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Jeżeli boki trójkąta mają długości a, b i c, to jednocześnie spełnione są wszystkie trzy zapisane powyżej nierówności.
Jeśli dane są trzy odcinki o różnych długościach, to aby stwierdzić, czy można skonstruować z nich trójkąt, wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych jest większa od długości trzeciego odcinka.
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości poprowadzonej do prostej zawierającej ten bok.
Do obliczania pól i obwodów trójkątów (a także innych wielokątów) często przydaje się twierdzenie Pitagorasa, uważane za jedno z najważniejszych twierdzeń geometrii.
CIEKAWOSTKA: Pitagoras z Samos (572 p.n.e. - 497 p.n.e.) żył w czasach, gdy w Indiach nauczał Budda, a w Chinach Konfucjusz.
Był nie tylko matematykiem, ale także filozofem. Założona przez niego szkoła filozoficzna głosiła m.in. wiarę w reinkarnację. Pitagorejczycy wierzyli, że dusza człowieka może wcielić się nawet w roślinę. Prowadzili też działalność naukową. Uważali, że świat można opisać za pomocą liczb.
Nie wiadomo, czy twierdzenie Pitagorasa udowodnił po raz pierwszy sam Pitagoras, czy też któryś z jego uczniów. Jest natomiast pewne, że było ono znane wcześniej, gdyż archeologowie znaleźli przykłady jego użycia w egipskich papirusach.
Był nie tylko matematykiem, ale także filozofem. Założona przez niego szkoła filozoficzna głosiła m.in. wiarę w reinkarnację. Pitagorejczycy wierzyli, że dusza człowieka może wcielić się nawet w roślinę. Prowadzili też działalność naukową. Uważali, że świat można opisać za pomocą liczb.
Nie wiadomo, czy twierdzenie Pitagorasa udowodnił po raz pierwszy sam Pitagoras, czy też któryś z jego uczniów. Jest natomiast pewne, że było ono znane wcześniej, gdyż archeologowie znaleźli przykłady jego użycia w egipskich papirusach.
Twierdzenie Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
a2 + b2 = c2
Dowód
Niech a i b oznaczają długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, a c niech oznacza długość przeciwprostokątnej. Udowodnimy, żea2 + b2 = c2.
Popatrz na pierwszy z powyższych rysunków. Na przeciwprostokątnej c trójkąta prostokątnego zbudowano kwadrat.
Popatrz na drugi z powyższych rysunków. Do trzech boków kwadratu o boku c dołożono trzy identyczne trójkąty prostokątne o bokach a, b i c. Kąt kwadratu o boku c i dwa kąty ostre trójkątów tworzą kąt półpełny. Zatem otrzymana figura to czworokąt, a dokładniej - kwadrat o boku a + b.
Pole tego kwadratu można obliczyć na dwa sposoby:
Sposób I. Korzystamy ze wzoru na pole kwadratu.
P = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Sposób II. Korzystamy z tego, że otrzymany kwadrat składa się z czterech trójkątów i kwadratu o boku c.
Wobec tego możemy zapisać równość:
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Stąd
a2 + b2 = c2
CIEKAWOSTKA: Oto inne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Twierdzenie w takiej wersji można udowodnić, dzieląc dwa mniejsze kwadraty na takie części, aby można było złożyć z nich większy kwadrat (zob. rysunek). Tego typu dowodów twierdzenia Pitagorasa jest wiele (kwadrat można dzielić na różne sposoby).
W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Twierdzenie w takiej wersji można udowodnić, dzieląc dwa mniejsze kwadraty na takie części, aby można było złożyć z nich większy kwadrat (zob. rysunek). Tego typu dowodów twierdzenia Pitagorasa jest wiele (kwadrat można dzielić na różne sposoby).
Wzory pozwalające obliczyć wysokość i pole trójkąta równobocznego możesz zawsze łatwo otrzymać, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Warto jednak te wzory zapamiętać.
Twierdzenie Pitagorasa ma liczne zastosowania. Czasami przydaje się też twierdzenie do nirgo odwrotne.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:
Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to ten trójkąt jest prostokątny.
Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to ten trójkąt jest prostokątny.
Dowód
Zakładamy, że długości boków trójkąta wynoszą a, b i c oraz że a2 + b2 = c2. Oznaczmy literą α kąt między bokami a i b. Pokażemy, że α to kąt prosty.Przypuśćmy, że α jest kątem ostrym, i przyjmijmy, że a ≥ b. Wówczas mamy sytuację taką jak na rysunku poniżej (wysokość poprowadzona do boku a dzieli dany trójkąt na dwa trójkąty prostokątne).
h2 = b2 - x2 oraz h2 = c2 - (a - x)2
Stąd
b2 - x2 = c2 - a2 + 2ax - x2
Zatem
a2 + b2 = c2 + 2ax
Zwróć uwagę, że c2 + 2ax > c2, gdyż 2ax jest liczbą dodatnią, bo a oraz x to długości odcinków. Zatem
a2 + b2 = c2 + 2ax > c2, czyli a2 + b2 > c2
Otrzymana nierówność a2 + b2 > c2 jest sprzeczna z założoną na początku równością
a2 + b2 = c2
Zatem taka sytuacja, jak na powyższym rysunku nie jest możliwa. Wynika stąd, że kąt α nie może być kątem ostrym.
Uwaga. Powyższy rysunek wynika z założenia, że a ≥ b. Gdybyśmy przyjęli, że b ≥ a, dany trójkąt dzieliłaby wysokość poprowadzona do boku b.
Przypuśćmy wobec tego, że α jest kątem rozwartym (zob. rysunek poniżej).
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa i wykonując analogiczne jak powyżej przekształcenia, można wykazać, że także i ta sytuacja nie jest możliwa. Zatem α nie może być kątem rozwartym.
Wobec tego kąt α nie może być ani kątem ostrym, ani kątem rozwartym, musi zatem być kątem prostym.
CIEKAWOSTKA: Trzy liczby naturalne, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego, nazywamy trójką pitagorejską.
Przykłady takich trójek:
Już 3,5 tys. lat temu Babilończycy znali wiele takich trójek. Okazuje się, że jest ich nieskończenie wiele.
Oto ogólna metoda znajdowania trójek pitagorejskich: wybieramy dodatnie liczby naturalne p, q takie, że p > q > 0, i obliczamy a, b i c według wzorów:
Tak otrzymane liczby stanowią trójkę pitagorejską, bowiem spełniają warunek
Przykłady takich trójek:
3, 4, 5; 5, 12, 13; 40, 198, 202.
Już 3,5 tys. lat temu Babilończycy znali wiele takich trójek. Okazuje się, że jest ich nieskończenie wiele.
Oto ogólna metoda znajdowania trójek pitagorejskich: wybieramy dodatnie liczby naturalne p, q takie, że p > q > 0, i obliczamy a, b i c według wzorów:
a = p2 - q2, b = 2pq, c = p2 + q2.
Tak otrzymane liczby stanowią trójkę pitagorejską, bowiem spełniają warunek
a2 + b2 = c2.
