Tangens kąta ostrego - Adam Mlynarczyk

Rozważmy trójkąt prostokątny o kącie ostrym α.

Definicja: Tangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α do długości przyprostokątnej (leżącej przy tym kącie). Tangens kąta α oznaczamy w skrócie tg α.

Gdybyśmy rozważyli inny trójkąt prostokątny o kącie ostrym α (w którym przyprostokątne miałyby inne długości), tg α byłby taki sam. Liczba tg α nie zależy więc od wielkości trójkąta, a tylko od miary kąta α.

Gdy znamy tangens kąta ostrego i długość jednej z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, możemy łatwo obliczyć długość drugiej przyprostokątnej.

Przykład

Tangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego jest równy 2/7, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta wynosi 5. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąta.

Wykonujemy rysunek pomocniczy

$tg\; \alpha =\frac{2}{7}\; \; \; \textrm{i}\; \; \; tg\; \alpha =\frac{5}{x}$

Zapisujemy i rozwiązujemy odpowiednie równanie

$\frac{2}{7}=\frac{5}{x}$

$x=\frac{7\cdot 5}{2}$

x = 17,5

Odp. Długość drugiej przyprostokątnej wynosi 17,5.

Gdy znamy tangens pewnego kąta, możemy ten kąt narysować.

Przykład

Narysuj kąt, którego tangens jest równy 1,5.

Wystarczy narysować dowolny trójkąt prostokątny, w którym tangens jednego z kątów jest równy 1,5.

$tg\; \alpha =\frac{a}{b}=1,5$

$1,5=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$

Przyjmujemy takie wielkości a i b, aby był spełniony warunek

$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$

A zatem możemy przyjąć

a = 3 cm oraz b = 2 cm

Rysujemy kąt prosty i na jego ramionach wyznaczamy odpowiednie odcinki; łącząc końce odcinków, otrzymamy trójkąt; szukany kąt leży naprzeciwko boku o długości 3 cm.

Nachylenie stoków gór, schodów i dachów domów często podaje się w procentach. Na przykład znak drogowy przedstawiony na zdjęciu ostrzega przed stromym podjazdem, którego nachylenie wynosi 10%. Nachylenie 10% oznacza, że tangens kąta nachylenia drogi do poziomu wynosi 0,10.

Gdy dany jest kąt ostry α, możemy znaleźć jego tangens, postępując w następujący sposób. Rysujemy taki trójkąt prostokątny, w którym kąt α jest jednym z kątów. Mierzymy długości przyprostokątnych i obliczamy odpowiedni ich iloraz.

Wykonywanie takich obliczeń jest uciążliwe i zawsze obarczone jest pewnym błędem (wynikającym na przykład z niedokładności pomiarów). Aby znaleźć tangens danego kąta, można posłużyć się specjalną tabelą, w której zapisano miary kątów oraz przybliżone wartości ich tangensów. Poniżej zamieszczony jest fragment takiej tabeli.

α	tg α	α	tg α	α	tg α
1^o	0,0175	16^o	0,2867	31^o	0,6009
2^o	0,0349	17^o	0,3057	32^o	0,6249
3^o	0,0524	18^o	0,3249	33^o	0,6494
4^o	0,0699	19^o	0,3443	34^o	0,6745
5^o	0,0875	20^o	0,3640	35^o	0,7002
6^o	0,1051	21^o	0,3839	36^o	0,7265
7^o	0,1228	22^o	0,4040	37^o	0,7536
8^o	0,1405	23^o	0,4245	38^o	0,7813
9^o	0,1584	24^o	0,4452	39^o	0,8098
10^o	0,1763	25^o	0,4663	40^o	0,8391
11^o	0,1944	26^o	0,4877	41^o	0,8693
12^o	0,2126	27^o	0,5095	42^o	0,9004
13^o	0,2309	28^o	0,5317	43^o	0,9325
14^o	0,2493	29^o	0,5543	44^o	0,9657
15^o	0,2679	30^o	0,5774	45^o	1,0000

Można z niego na przykład odczytać, że:

tg 34^o ≈ 0,67

tg 39^o ≈ 0,8

Jeszcze łatwiej znaleźć tangens danego kąta, gdy ma się odpowiedni kalkulator. Do obliczania tangensa służy klawisz z napisem tan.

Używając kalkulatora do obliczania tangensa, należy najpierw sprawdzić, czy ustawioną w kalkulatorze jednostką miary kąta jest stopień. Najczęściej można wybrać jedną z trzech jednostek: stopień (skrót DEG od ang. degree), radian (skrót RAD) lub gradus (skrót GRAD).

Przykład

Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę 37^o, a przyprostokątna leżąca przy tym kącie ma długość 8. Jaką długość ma druga przyprostokątna?

Wykonujemy rysunek pomocniczy

Zapisujemy i przekształcamy odpowiednią równość

$tg\; 37^{\circ} =\frac{x}{8}$

x = 8 ⋅ tg 37^o

Wartość tg 37^o odczytujemy z tablic lub obliczamy za pomocą kalkulatora.

x ≈ 8 ⋅ 0,75 = 6

Odp. Druga przyprostokątna ma długość około 6.

W poprzedniej tabeli podane są miary kątów i ich tangensy. Korzystając z tych informacji, możemy podać w pewnym przybliżeniu, jaką miarę ma kąt, gdy jego tangens jest daną liczbą nie mniejszą od 0,0175 i nie większą od 1.

Na przykład, aby znaleźć miarę kąta α, jeśli wiadomo, że tg α = 0,76, znajdujemy w kolumnie z podanymi tangensami dwie liczby, z których jedna jest mniejsza, a druga większa od 0,76.

tg 37^o ≈ 0,7536 < 0,76 < 0,7813 ≈ tg 38^o

Możemy przyjąć, że α ≈ 37^o lub że α ≈ 38^o. Ponieważ liczba 0,76 leży na osi liczbowej bliżej liczby 0,7536, więc raczej mniejszy błąd popełnimy, przyjmując α ≈ 37^o.

Znając tangens kąta można z większą dokłądnością i znacznie wygodniej ustalić jego miarę, gdy korzystamy z kalkulatora. Służy do tego klawisz, nad którym widnieje napis tan^-1.

Przykład

Kolejka linowo-terenowa na Gubałówkę wjeżdża po torach, których nachylenie wynosi 23%. Pod jakim kątem nachylony jest w tym miejscu stok Gubałówki?

Nachylenie podane w procentach to tangens kąta nachylenia; 23% = 0,23.

23% = 0,23

tg α ≈ 0,23

Odczytujemy z tabeli lub obliczamy za pomocą kalkulatora miarę kąta, którego tangens wynosi 0,23.

α ≈ 13^o

Odp. Stok Gubałówki nachylony jest pod kątem około 13^o.