Tangens kąta ostrego - Adam Mlynarczyk

Książki  Zabawne Gadżety  E-Biznes  Seksowne Gadżety  Komputery  Kiosk  Czat  TV  Księga Gości  Słownik  Forum Tablica  Online English 

Bookmark and Share

Aktualny czas:

Informacje



Lekcje






Kliknij aby rozpocząć grę!


  1. Liczby i działania
  2. Zdania i zbiory
  3. Równania i nierówności
  4. Figury geometryczne
  5. Funkcje
  6. Włas. funkcji kwadratowej
  7. Trygonometria

Zobacz Wszystko

Licznik Odwiedzin


Tangens kąta ostrego

Rozważmy trójkąt prostokątny o kącie ostrym α.

Definicja: Tangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α do długości przyprostokątnej (leżącej przy tym kącie). Tangens kąta α oznaczamy w skrócie tg α.

Gdybyśmy rozważyli inny trójkąt prostokątny o kącie ostrym α (w którym przyprostokątne miałyby inne długości), tg α byłby taki sam. Liczba tg α nie zależy więc od wielkości trójkąta, a tylko od miary kąta α.

Gdy znamy tangens kąta ostrego i długość jednej z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, możemy łatwo obliczyć długość drugiej przyprostokątnej.

Przykład

Tangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego jest równy 2/7, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta wynosi 5. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąta.

Wykonujemy rysunek pomocniczy





Zapisujemy i rozwiązujemy odpowiednie równanie





x = 17,5


Odp. Długość drugiej przyprostokątnej wynosi 17,5.


Gdy znamy tangens pewnego kąta, możemy ten kąt narysować.

Przykład

Narysuj kąt, którego tangens jest równy 1,5.

Wystarczy narysować dowolny trójkąt prostokątny, w którym tangens jednego z kątów jest równy 1,5.





Przyjmujemy takie wielkości a i b, aby był spełniony warunek



A zatem możemy przyjąć
a = 3 cm     oraz     b = 2 cm


Rysujemy kąt prosty i na jego ramionach wyznaczamy odpowiednie odcinki; łącząc końce odcinków, otrzymamy trójkąt; szukany kąt leży naprzeciwko boku o długości 3 cm.





Nachylenie stoków gór, schodów i dachów domów często podaje się w procentach. Na przykład znak drogowy przedstawiony na zdjęciu ostrzega przed stromym podjazdem, którego nachylenie wynosi 10%. Nachylenie 10% oznacza, że tangens kąta nachylenia drogi do poziomu wynosi 0,10.



Gdy dany jest kąt ostry α, możemy znaleźć jego tangens, postępując w następujący sposób. Rysujemy taki trójkąt prostokątny, w którym kąt α jest jednym z kątów. Mierzymy długości przyprostokątnych i obliczamy odpowiedni ich iloraz.

Wykonywanie takich obliczeń jest uciążliwe i zawsze obarczone jest pewnym błędem (wynikającym na przykład z niedokładności pomiarów). Aby znaleźć tangens danego kąta, można posłużyć się specjalną tabelą, w której zapisano miary kątów oraz przybliżone wartości ich tangensów. Poniżej zamieszczony jest fragment takiej tabeli.

αtg ααtg ααtg α
1o0,017516o0,286731o0,6009
2o0,034917o0,305732o0,6249
3o0,052418o0,324933o0,6494
4o0,069919o0,344334o0,6745
5o0,087520o0,364035o0,7002
6o0,105121o0,383936o0,7265
7o0,122822o0,404037o0,7536
8o0,140523o0,424538o0,7813
9o0,158424o0,445239o0,8098
10o0,176325o0,466340o0,8391
11o0,194426o0,487741o0,8693
12o0,212627o0,509542o0,9004
13o0,230928o0,531743o0,9325
14o0,249329o0,554344o0,9657
15o0,267930o0,577445o1,0000


Można z niego na przykład odczytać, że:

tg 34o ≈ 0,67


tg 39o ≈ 0,8


Jeszcze łatwiej znaleźć tangens danego kąta, gdy ma się odpowiedni kalkulator. Do obliczania tangensa służy klawisz z napisem tan.

Używając kalkulatora do obliczania tangensa, należy najpierw sprawdzić, czy ustawioną w kalkulatorze jednostką miary kąta jest stopień. Najczęściej można wybrać jedną z trzech jednostek: stopień (skrót DEG od ang. degree), radian (skrót RAD) lub gradus (skrót GRAD).

Przykład

Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę 37o, a przyprostokątna leżąca przy tym kącie ma długość 8. Jaką długość ma druga przyprostokątna?

Wykonujemy rysunek pomocniczy



Zapisujemy i przekształcamy odpowiednią równość



x = 8 ⋅ tg 37o


Wartość tg 37o odczytujemy z tablic lub obliczamy za pomocą kalkulatora.

x ≈ 8 ⋅ 0,75 = 6


Odp. Druga przyprostokątna ma długość około 6.


W poprzedniej tabeli podane są miary kątów i ich tangensy. Korzystając z tych informacji, możemy podać w pewnym przybliżeniu, jaką miarę ma kąt, gdy jego tangens jest daną liczbą nie mniejszą od 0,0175 i nie większą od 1.

Na przykład, aby znaleźć miarę kąta α, jeśli wiadomo, że tg α = 0,76, znajdujemy w kolumnie z podanymi tangensami dwie liczby, z których jedna jest mniejsza, a druga większa od 0,76.

tg 37o ≈ 0,7536 < 0,76 < 0,7813 ≈ tg 38o


Możemy przyjąć, że α ≈ 37o lub że α ≈ 38o. Ponieważ liczba 0,76 leży na osi liczbowej bliżej liczby 0,7536, więc raczej mniejszy błąd popełnimy, przyjmując α ≈ 37o.

Znając tangens kąta można z większą dokłądnością i znacznie wygodniej ustalić jego miarę, gdy korzystamy z kalkulatora. Służy do tego klawisz, nad którym widnieje napis tan-1.

Przykład

Kolejka linowo-terenowa na Gubałówkę wjeżdża po torach, których nachylenie wynosi 23%. Pod jakim kątem nachylony jest w tym miejscu stok Gubałówki?



Nachylenie podane w procentach to tangens kąta nachylenia; 23% = 0,23.

23% = 0,23


tg α ≈ 0,23


Odczytujemy z tabeli lub obliczamy za pomocą kalkulatora miarę kąta, którego tangens wynosi 0,23.

α ≈ 13o


Odp. Stok Gubałówki nachylony jest pod kątem około 13o.


Wykorzystano fragmenty książki "Matematyka z plusem"





Bookmark and Share

Wpisz hasło


SKLEPY

















©2008 Adam Mlynarczyk