Z równaniami typu x² = a zetknąłeś się już w gimnazjum, np. korzystając z twierdzenia Pitagorasa albo obliczając długość promienia koła, gdy dane było jego pole. W takich zadaniach niewiadoma oznaczała długość odcinka, więc można było pominąć ujemne rozwiązania. Warto jednak pamiętać, że gdy a > 0, to równanie x² = a ma dwa rozwiązania.

W równaniach rozważanych powyżej, a także w równaniach z poniższego przykładu, niewiadoma występuje w drugiej potędze. Każde z tych równań można przekształcić do postaci:


Takie równanie nazywamy równaniem drugiego stopnia albo równaniem kwadratowym.

Przykłady równań kwadratowych:

Pokażemy teraz, jak rozwiązuje się niektóre proste równania kwadratowe. Zaczniemy od równań kwadratowych typu ax² + c = 0.

Przykład

Istnieją tylko dwie liczby, których kwadrat jest równy 25; liczba 5 i liczba -5; równanie ma zatem dwa rozwiązania.







Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby liczbą ujemną.







Jedyną liczbą, której kwadrat jest równy 0, jest liczba 0; równanie ma jedno rozwiązanie.




Pokażemy teraz jak rozwiązuje się równania typu ax² + bx = 0.

Lewą stronę takiego równania możemy zapisać w postaci iloczynu x(ax + b). Iloczyn ten jest równy 0, gdy x = 0 lub gdy ax + b = 0.

Przykład

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci iloczynu.


Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, gdy jedna z tych liczb jest równa 0 lub gdy druga z nich jest równa 0.


Potrafisz już podać rozwiązanie równania x² = 5 i innych równań tego typu. Tę umiejętność możesz wykorzystać przy rozwiązywaniu bardziej skomplikowanych równań kwadratowych.

Przykład

Istnieją dwie liczby, których kwadrat jest równy 5; liczba i liczba



Równanie ma dwa rozwiązania.
Pokażemy teraz jak można rozwiązać równanie kwadratowe, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:



Rozważmy równanie:
Jest ono równoważne równaniu:
Można je przekształcić tak, aby po lewej stronie występował kwadrat pewnego wyrażenia (wystarczy do obu stron równania dodać odpowiednią liczbę):



Jak rozwiązać takie równanie już wiemy (zobacz poprzedni przykład):



W podobny sposób można rozwiązać każde równanie kwadratowe.

Równania kwadratowe można także rozwiązywać w inny sposób - zapamiętać pewne wzory i z nich korzystać. Rozwiązywanie równań kwadratowych można ująć w następujący schemat.

Przykłady

Δ > 0, zatem równanie ma dwa rozwiązania:








Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie:






Δ < 0, a zatem