Potęgi o wykładnikach wymiernych

Umiesz już obliczać potęgi o wykładnikach całkowitych. Można również określić potęgę, której wykładnik nie jest liczbą całkowitą.

Zastanówmy się na przykład, jaką liczbę mógłby oznaczać zapis $5^{\frac{1}{3}}$ . Aby zachowane były prawa działań na potęgach, musiałyby zachodzić równości:

$\left(5^{\frac{1}{3}} \right)^{3}=5^{\frac{1}{3}\cdot 3}=5^{1}=5$

Z równości $\left(5^{\frac{1}{3}} \right)^{3}=5$ wynika, że liczby $5^{\frac{1}{3}}$ oraz $\sqrt[3]{5}$ muszą być równe.

Zastanówmy się teraz, jaką liczbę mógłby oznaczać zapis $5^{\frac{2}{3}}$ . Korzystając z praw działań na potęgach, otrzymujemy:

$\left( 5^{\frac{2}{3}}\right)^{3}=5^{\frac{2}{3}\cdot 3}=5^{2}$

Z równości $\left( 5^{\frac{2}{3}}\right)^{3}=5^{2}$ wynika, że liczby $5^{\frac{2}{3}}$ oraz $\sqrt[3]{5^{2}}$ muszą być równe.

Jeśli k i n są liczbami naturalnymi i n > 1, to możemy określić potęgi o wykładnikach

Twierdzenie:

Przyjmujemy, że:

$\boldsymbol{a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\: \: \: \left(\textrm{dla}\: \: a\geq 0\right)}$

$\boldsymbol{a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}}\: \: \: \left(\textrm{dla}\: \: a\geq 0\right)}$

Przyjmujemy także, że:

$\boldsymbol{a^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{k}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{k}}}\: \: \: \left(\textrm{dla}\: \: a>0\right)}$

Wykonując obliczenia na potęgach o wykładnikach wymiernych, możemy korzystać z takich samych praw działań, jak dla potęg o wykładnikach całkowitych. Niektóre wyrażenia można przekształcać, zapisując potęgi w postaci pierwiastków lub pierwiastki w postaci potęg.

Potęgi o wykładnikach wymiernych - Adam Mlynarczyk

Potęgi o wykładnikach wymiernych