Poniższy wykres pokazuje, jak zmienia się temperatura w zależności od wysokości nad powierzchnią Ziemi dla wysokości niewiększej niż 100 km. Przedstawiono na nim przeciętne temperatury notowane na różnych wysokościach.


Zależność przedstawiona za pomocą tego wykresu to przykład fubkcji. Możemy powiedzieć, że każdej wysokości nad powierzchnią Ziemi przyporządkowana jest przeciętna temperatura (dokładnie jedna) panująca na tej wysokości.

Oznaczmy literą f funkcję przedstawioną na powyższym wykresie. Możemy powiedzieć, że f jest funkcją określoną na zbiorze <0;100> o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zbiór X, na którym określona jest funkcja, nazywamy dziedziną funkcji, a każdy element dziedziny nazywamy argumentem funkcji. Argumentami funkcji f są liczby z przedziału <0;100>. Z wykresu możemy odczytać na przykład, że: f(4) = -30, f(38) = 0, f(50) = 10.

Czasami argumenty i wartości funkcji nazywa się zmiennymi: argument funkcji - zmienną niezależną, a wartość funkcji - zmienną zależną.

Dziedziną funkcji może być dowolny zbiór i wartości funkcji też mogą być elementami dowolnego zbioru. W tym rozdziale omawiać jednak będziemy przede wszystkim takie funkcje, których argumenty i wartości są liczbami.

Funkcję określamy, podając jej dziedzinę i sposób, w jaki argumentom przyporządkowane są ich wartości. Możemy to zrobić za pomocą wykresu, opisu słownego, tabeli, grafu lub wzoru.

Gdy funkcja przedstawiona jest za pomocą wykresu (w układzie współrzędnych), argumenty odczytujemy na osi poziomej, a wartości na osi pionowej.

Wykres funkcji tworzą punkty, których pierwsza współrzędna jest argumentem, a druga współrzędna jest wartością odpowiadającą temu argumentowi.

Inaczej mówiąc, do wykresu funkcji f należą wszystkie punkty o współrzędnych (x,f(x)), gdzie x jest elementem dziedziny.

Na poniższym rysunku widzimy jak znajdujemy wartość funkcji dla danego argumentu x oraz jak znajdujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość y.


Poniżej przedstawione są wykresy trzech funkcji. Zwróć uwagę, że pierwszy wykres zakończony jest z lewej strony kropką (z prawej strony takiej kropki nie ma). W ten sposób oznaczamy, że dziedziną jest przedział lewostronnie domknięty. Przyjmujemy również, że punkty oznaczone pustym kółeczkiem (tak jak na drugim rysunku) nie należą do wykresu funkcji.



Argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, nazywamy miejscem zerowym tej funkcji. Innymi słowy, argument a jest miejscem zerowym funkcji f, gdy f(a) = 0.

Oczywiście funkcja może nie mieć miejsc zerowych, może także mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres pewnej funkcji. Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -3, -1 oraz wszystkie liczby z przedziału <2;4).



Omawiane dotąd funkcje przedstawione były za pomocą wykresów. Poniżej omawiamy kilka przykładów funkcji określonych w inny sposób.

1. Niech f oznacza funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich i która każdej liczbie przyporządkowuje zaokrąglenie tej liczby do dziesiątek.



2. Funkcja g określona jest następująco:
   
   g: N→N i g(n) to największa z liczb parzystych mniejszych lub równych n.
Gdy dziedzina funkcji jest zbiorem skończonym, to wszystkie argumenty i odpowiadające im wartości można czasami wypisać w tabeli. Można też taką funkcję przedstawić za pomocą grafu. Oto ptrzykłady:


3. W poniższej tabeli przedstawiono funkcję, która numerom poszczególnych miesięcy przyporządkowuje liczbę liter występujących w nazwie miesiąca.
   
   

   x	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
   y	7	4	6	8	3	8	6	8	8	11	8	8

   
   
   
   x - numer miesiąca
   
   
   y - liczba liter występujących w nazwie miesiąca

Funkcje można także opisywać za pomocą wzorów. Ten sposób opisu omawiać będziemy w jednym z następujących rozdziałów.