Nierówności kwadratowe - Adam Mlynarczyk

Książki Zabawne Gadżety E-Biznes Seksowne Gadżety Komputery Kiosk Czat TV Księga Gości Słownik Forum Tablica Online English

Informacje

Lekcje

Zobacz Wszystko

Licznik Odwiedzin

Nierówności kwadratowe

Przykłady nierówności kwadratowych:

$4x^{2}-2x-7\leq 0$

$3x^{2}<5$

$\frac{x^{2}}{2}\geq 3x-1$

$x^{2}+x<3x^{2}-6$

Każdą z nierówności zapisanych powyżej można przekształcić tak, aby po jednej stronie znaku nierówności występowało wyrażenie postaci ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0, a po drugiej stronie - liczba 0.

Takie nierówności nazywamy nierównościami kwadratowymi.

Przypomnijmy, że rozwiązać daną nierówność to znaczy znaleźć zbiór liczb, które spełniają tę nierówność.

Rozwiązanie nieróności kwadratowej możemy odczytać z wykresu odpowiedniej funkcji kwadratowej. Wykres nie musi być zbyt dokładny - wystarczy znać miejsca zerowe funkcji (jeśli istnieją) i wiedzieć, jak skierowane są ramiona paraboli.

Przykłady

1.

x² - 18 < 0

Obliczamy miejsca zerowe funkcji y = x² - 18 i szkicujemy jej wykres

x² - 18 = 0

x² = 18

$x=3\sqrt{2}\; \; \; \; \textrm{lub}\; \; \; x=-3\sqrt{2}$

$x\in \left(-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2} \right)$

2.

$-x^{2}-\frac{1}{3}x+1\geq -\frac{5}{6}x^{2}+\frac{1}{2}$

Przekształcamy nierówność tak, aby po jednej stronie występowała liczba 0

$-\frac{1}{6}x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\geq 0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji

$y=-\frac{1}{6}x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}$

i szkicujemy jej wykres

$-\frac{1}{6}x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2} = 0\; \; \; \mid \cdot (-6)$

$x^{2}+2x-3=0$

$\Delta =2^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)=16$

$\sqrt{\Delta }=4$

$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot 1}=1$

$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot 1}=-3$

$x\in \left<-3;1 \right>$

3.

$\frac{x^{2}}{2}+x\sqrt{2}\leq -1$

$\frac{x^{2}}{2}+x\sqrt{2}+1\leq 0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji

$y=\frac{x^{2}}{2}+x\sqrt{2}+1$

i szkicujemy jej wykres

$\frac{x^{2}}{2}+x\sqrt{2}+1=0\; \; \; \mid \cdot 2$

$x^{2}+2\sqrt{2}\cdot x+2=0$

$\Delta =\left(2\sqrt{2} \right)^{2}-8=8-8=0$

$x=\frac{-2\sqrt{2}}{2}$

$x=-\sqrt{2}$

Nierówność

$\frac{x^{2}}{2}+x\sqrt{2}\leq -1$

spełnia tylko liczba

$-\sqrt{2}$

4.

$-\left(x-7 \right)^{2}\geq 2x+1$

$-\left(x^{2} -14x+49\right)-2x-1\geq 0$

$-x^{2} +14x-49-2x-1\geq 0$

$-x^{2} +12x-50\geq 0$

$-x^{2} +12x-50\geq 0$

$\Delta =12^{2}-4\cdot 50=-56<0$

Funkcja

$y = -x^{2} +12x-50$

nie ma miejsc zerowych, a jej wykres leży poniżej osi x, zatem nierówność

$-x^{2} +12x-50\geq 0$

nie ma rozwiązań

Nierówność nie ma rozwiązań.

Wykorzystano fragmenty książki "Matematyka z plusem"

Wpisz hasło

SKLEPY

©2008 Adam Mlynarczyk