Koła i okręgi - Adam Mlynarczyk

Książki  Zabawne Gadżety  E-Biznes  Seksowne Gadżety  Komputery  Kiosk  Czat  TV  Księga Gości  Słownik  Forum Tablica  Online English 

Bookmark and Share

Aktualny czas:

Informacje



Lekcje






Kliknij aby rozpocząć grę!


  1. Liczby i działania
  2. Zdania i zbiory
  3. Równania i nierówności
  4. Figury geometryczne
  5. Funkcje
  6. Włas. funkcji kwadratowej
  7. Trygonometria

Zobacz Wszystko

Licznik Odwiedzin


Koła i okręgi

Definicja: Okrąg o środku S i promieniu r to zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest równa r.

Definicja: Koło o środku O i promieniu r to zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza od r lub równa r.

UWAGA: Okrąg o środku S i promieniu r oznaczamy symbolem o(S,r). Niech P oznacza pewien punkt płaszczyzny. Wówczas: P ∈ o(S,r) ⇔ |SP| = r.

Gdy koło o środku S i promieniu r oznaczymy symbolem k(S,r), możemy zapisać równoważność: P ∈ k(S,r) ⇔ |PS| ≤ r.
We wzorach dotyczących kół i okręgów występuje liczba π. Wszyscy wiedzą, że π ≈ 3,14 i że jest to liczba niewymierna, ale nie wszyscy pamiętają, skąd ta liczba się wzięła. Otóż już w czasach starożytnych zauważono, że stosunek długości okręgu do długości jego średnicy jest dla wszystkich okręgów taki sam (niezależnie od wielkości okręgu). Liczba równa temu stosunkowi to właśnie π

(długość okręgu) / (długość średnicy) = π

CIEKAWOSTKA: Od wieków stosowane były rozmaite przybliżenia liczby π. Na przykłąd z pewnego fragmentu Biblii (I Księga Królewska, rozdział 7,23) wynika, że w czasach biblijnych przyjmowano π ≈ 3. Egipcjanie (XX w. p.n.e.) przyjmowali π ≈ (16/9)2, a Archimedes (III w. p.n.e.) przyjął π ≈ 22/7.

Także w czasach nowożytnych starano się podać jak najdokładniejszą wartość π. W 1610 roku holenderski uczony Ludolf van Ceulen podał 35 cyfr po przecinku liczby π. Na jego cześć liczba π nazywana jest czasem ludolfiną.

Oznaczenie stosunku długości okręgu do długości średnicy literą π byćmożę wzięło się stąd, że jest to pierwsza litera greckiego słowa περιμετροζ - obwód. Takie oznaczenie wprowadzono dopiero w XVIII wieku.
Poniżej przypominamy, jak obliczamy długość okręgu i pole koła.


l = 2πr

P = πr2

Zauważ, że wzór, który pozwala obliczać długość okręgu, wynika wprost z określenia liczby π. (Ponieważ π = l/(2r), więc l = 2πr).

Spróbujemy wyjaśnić, skąd się wziął wzór na pole koła.

Wyobraźmy sobie, że koło o promieniu r dzielimy na jednakowe części.

Pole każdej z tych części niewiele się różni od pola trójkąta o podstawie a i wysokości r (patrz rysunek powyżej), czyli wynosi w przybiżeniu

.

Jeśli liczba części, na które dzielimy koło, jest równa n, to podstawa a trójkąta jest w przybliżeniu równa 1/n długości okręgu, czyli


Pole każdej części to 1/n pola koła P. Zatem


Stąd

Im więcej będzie części, na które dzielimy koło, tym przybliżenie będzie dokładniejsze. Możemy zatem przyjąć, że pole koła jest równe
.


Popatrz na poniższy rysunek. Kąt α wyznacza pewien łuk (część okręgu). Ten sam kąt "wycina" pewną część koła; otrzymaną figurę nazywamy wycinkiem koła. Długość łuku to pewien ułamek długości okręgu, a pole wycinka koła to ułamek pola koła. Ułamek ten jest równy α/360o (jego wartość zależy od miary kąta α).

Długość łuku l:



Pole wycinka koła Pw:



Przypomnimy teraz wiadomości o kątach środkowych i kątach wpisanych

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu. Na rysunku poniżej zaznaczono kąt środkowy α oraz łuk, na którym ten kąt jest oparty.

Na tym rysunku można wskazać jeszcze jeden kąt środkowy, jego miara wynosi 360o - α. Łuk, na którym ten kąt jest oparty, zaznaczony jest kolorem czarnym.

Kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, ramiona przecinają okrąg, a miara jest mniejsza od 180o. Na rysunku poniżej zaznaczono kąt wpisany β i łuk, na którym ten kąt jest oparty.



Zauważ, że jest tylko jeden kąt środkowy oparty na danym łuku, natomiast istnieje nieskończenie wiele kątów wpisanych opartych na tym łuku.

Oto trzy ważne twierdzenia dotyczące kątów środkowych i wpisanych.

Twierdzenie 1: Kąt wpisany ma dwa razy mniejszą miarę niż kąt środkowy oparty na tym samym łuku.
Twierdzenie 2: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.
Twierdzenie 3: Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.


Drugie i trzecie z tych twierdzeń można łatwo uzasadnić, korzystając z pierwszego twierdzenia.

Uzasadnienie twierdzenia 2:

Z twierdzenia 1 wynika, że gdy kąty wpisane oparte są na tym samym łuku, to każdy znich ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt środkowy oparty na tym łuku. Zatem wszystkie te kąty wpisane mają równe miary.

Uzasadnienie twierdzenia 3:

Kąt środkowy oparty na średnicy ma miarę 180o. Z twierdzenia 1 wynika, że kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę dwa razy mniejszą, czyli jest kątem prostym.

Pozostaje udowodnić teraz twierdzenie 1.

Dowód

Przyjmijmy, że kąt α to kąt wpisany, a kąt β to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt α. Pokażemy, że β = 2α.

Możliwe są trzy przypadki położenia środka okręgu względem kąta wpisanego α: środek okręgu może leżeć na ramieniu kąta α, może leżeć wewnątrz tego kąta, może też leżeć na zewnątrz kąta (zobacz poniższy rysunek).

Rozpatrujemy najpierw przypadek, gdy środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego α (patrz poniższy rysunek). Trójkąt BCO jest równoramienny, zatem: |∠BOC| = 180o - 2α.

Kąt β oraz ∠BOC to kąty przyległe, więc

β = 180o - |∠BOC| = 180o - (180o - 2α) = 2α

Wykazaliśmy, że jeśli środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego α, to kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą. Będziemy z tego korzystać w dalszej części dowodu.

Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego α (patrz poniższy rysunek).
Prowadząc średnicę z wierzchołka kąta α, dzielimy α na dwa kąty γ i δ, wtedy kąt β także zostanie podzielony na dwa kąty (patrz kolejny rysunek).
Z poprzednich rozważań wiemy, że te kąty to 2γ i 2δ, zatem

α = γ + δ      β = 2γ + 2δ

Stąd

β = 2γ + 2δ = 2(γ + δ) = 2α

Rozpatrzmy teraz ostatni przypadek, gdy środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego α (patrz pierwszy z rysunków poniżej).

Prowadząc średnicę z wierzchołka kąta α, otrzymujemy sytuację przedstawioną na drugim rysunku. Kąt wpisany α + γ oparty jest na tym samym łuku co kąt środkowy 2γ + β. Z poprzednich rozważań wiemy, że

2γ + β = 2(α + γ)

Zatem

2γ + β = 2α + 2γ

Stąd

β = 2α



CIEKAWOSTKA: Jak skonstruować za pomocą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danego koła?

Problem ten, nazywany kwadraturą koła, próbowano bezskutecznie rozwiązać przez ponad 2000 lat. Dopiero w XIX wieku udowodniono, że taka konstrukacja jest niemozliwa. Udowodniono tym samym, że dla danego odcinka r niemożliwe jest skonstruowanie odcinka długości . W wielu językach kwadratura koła oznacza w przenośni problem nie do rozwiązania.

Wykorzystano fragmenty książki "Matematyka z plusem"





Bookmark and Share

Wpisz hasło


SKLEPY

















©2008 Adam Mlynarczyk