Dwie półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę na dwa kąty (półproste to ramiona obu kątów). Suma miar tych kątów jest równa 360o.
Jeśli półproste tworzące ramiona tych kątów nie leżą na jednej prostej, to jeden z kątów jest kątem wypukłym, a drugi - wklęsłym. Na rysunku poniżej kąt α to kąt wypukły, a kąt β - wklęsły.
UWAGA: Kąty wklęsłe mają miarę większą niż 1800 i mniejszą niż 360o. Kąty ostre, kąt prosty, kąty rozwarte (większe niż 90o i mniejsze niż 180o), a także kąt półpełny (180o), pełny (360o) i kąt o mierze 0o to kąty wypukłe.
Dwie przecinające się proste dzielą płaszczyznę na cztery kąty. Przypomnijmy teraz, co wiemy o tych kątach.
Kąty δ i &tetha; zaznaczone na rysunku poniżej mają wspólne ramię i tworzą razem kąt półpełny. Tak położone kąty nazywamy kątami przyległymi. Suma miar kątów przyległych jest równa 180o.
γ = 180o - δ
Dwa kąty o mierze φ na kolejnym rysunku mają wspólny jedynie wierzchołek, a ich ramiona leżą na dwóch przecinających się prostych. Tak położone kąty nazywamy kątami wierzchołkowymi. Kąty wierzchołkowe mają równe miary.
Przypomnijmy teraz, co wiadomo o kątach utworzonych przez prostą przecinającą dwie proste równoległe.
Wiadomo, że prosta, która przecina dwie proste równoległe, jest nachylona do każdej z nich pod takim samym kątem.
UWAGA: Na rysunku poniżej można wskazać różne kąty utworzone przez proste k i a. Dla każdego z tych kątów można wskazać kąt o takiej samej mierze utworzony przez proste k i b.
a || b
Na poniższych rysunkach dwie proste równoległe przecięte są trzecią prostą. Na każdym rysunku zaznaczone kąty mają równe miary. Tak położone kąty nazywamy kątami odpowiadającymi.
Kąty zaznaczone na każdym z poniższych rysunków także mają równe mairy. Tak położone kąty nazywamy kątami naprzemianległymi.
UWAGA: O kątach odpowiadających i naprzemianległych można mówić także wtedy, gdy dwie proste nierównoległe przecięte są trzecią prostą, ale wówczas miary tych kątów nie są oczywiście równe.
Przypomniane dotąd wiadomości możemy wykorzystać do uzasadnienia twierdzenia o kątach trójkąta.
Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta jest równa 180o.
α + β + γ = 180o
Dowód
Niech α, β i γ oznaczają kąty trójkąta KLM. Pokażemy, że α + β + γ = 180o.
Uzasadnienie można odczytać na powyższym rysunku. Zaznaczono na nim prostą zawierającą bok KL trójkąta KLM oraz poprowadzono przez wierzchołek M prostą równoległą do prostej KL.
Kąty α', β' i γ tworzą razem kąt półpełny, czyli
α'+ β' + γ = 180o
Prosta KM przecina dwie proste równoległe, więc kąty α i α' (kąty naprzemianległe) mają równe miary, czyli α' = α. Analogicznie można uzasadnić, że β' = β.
Zatem α' + β' + γ = α + β + γ, czyli α + β + γ = 180o.
Zauważ, że dowolny czworokąt można podzielić jedną z przekątnych na dwa trójkąty. Suma miar kątów obu tych trójkątów to suma miar kątów czworokąta. W takim razie:
Twierdzenie: Suma miar kątów czworokąta jest równa 360o.
Twierdzenie: W trapezie suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu jest równa 180o.
α + β = 180o
γ + δ = 180o
Twierdzenie: W równoległoboku przeciwległe kąty mają jednakowe miary, a suma miar kątów leżących przy tym samym boku jest równa 180o.
α + β = 180o
