W 1796 roku angielski lekarz Edward Jenner odkrył szczepionkę przeciwko ospie. Jednak nie była ona stosowana jeszcze przez kilka lat, gdyż lekarze sprzeciwiali się "wszczepianiu choroby". Dopiero wtedy, gdy szczepionka okazała się skuteczna w kilkuset przypadkach, lekarze uznali, że będzie skuteczna dla każdego człowieka.

Rozumowanie, w którym na podstawie pewnej liczby przypadków wyciąga się ogólne wnioski, stosowane jest bardzo często nie tylko w medycynie, ale także w pedagogice, psychologii, ekonomii, polityce itp. W matematyce takiego wnioskowania nie można uznać za poprawne. Oto przykład pokazujący, że tego typu wnioskowanie prowadzi do błędu.

Przyjrzyj się rysunkom. Na kolejnych okręgach zaznaczono 2 punkty, 3 punkty, 4 punkty, 5 punktów oraz narysowano wszystkie cięciwy o końcach w tych punktach. Cięciwy te podzieliły koła odpowiednio na 2, 4, 8 i 16 części.

Wydawałoby się, że reguła jest prosta: dla n punktów koło zostałoby podzielone na 2^n-1 części.

Okazuje się, że gdy punktów na okręgu jest 6, największa liczba części, na jakie można podzielić koło cięciwami, wynosi 31. Zatem wniosek, który sformułowaliśmy na podstawie pięciu przypadków, okazał się błędny.

Istnieje jednak w matematyce metoda sprawdzania, czy ogólny wniosek wyciągnięty na podstawie kilku przypadków jest prawdziwy. Ta metoda rozumowania nazywana jest zasadą indukcji matematycznej. Aby ją zilustrować, posłużymy się znanym ci zapewne przykładem przewracających się kostek domina.

Chcąc mieć pewność, że wszystkie kostki domina się przewrócą, musimy zadbać o to, aby:

1. Przewróciła się pierwsza kostka.


2. Kostki były ustawione tak, że jeśli przewróci się dowolna kostka, to przewróci się też następna.

Przyjrzyjmy się ponizszym równościom. Każda z liczb: a₁ = 3, a₂ = 10 i a₃ = 21 została zapisana na dwa różne sposoby:



Liczby a₁ = 3, a₂ = 10 i a₃ = 21 możemy zapisać inaczej otrzymując:



Zapisana według pierwszego sposobu n-ta liczba byłaby równa 3 + 7 + ... + (4n -1), a zapisana według drugiego sposobu byłaby równa 2n² + n.

Możemy zatem postawić hipotezę:



Tę równość można uzasadnić, korzystając z zasady indukcji matematycznej.

Przykład:

Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n prawdziwa jest równość:

Dowód

Warunek 1. Sprawdzamy, czy równość jest prawdziwa dla n = 1.

Dla n = 1 otrzymujemy L = 4 ⋅1 - 1 = 3 oraz P = 2 ⋅ 1² + 1 = 3
Zatem L = P, czyli wykazaliśmy, że równość jest prawdziwa dla n = 1.

Warunek 2. Pokażemy, że prawdziwa jest implikacja:

Uzasadnienie

Przekształcamy obie strony ostatniej równości.

P = 2(k+1)²+(k+1) = 2k²+4k+2+k+1 = 2k² + 5k + 3

L = 3 + 7 + 11 + ... + (4k-1) + (4k+3) = 2k² + k + 4k + 3 = 2k² + 5k + 3
                      2k²+k



Wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby k implikacja jest prawdziwa.

Wniosek

Pierwszy warunek (dla n = 1) i drugi warunek zasady indukcji matematycznej są spełnione, zatem możemy stwierdzić, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi równość:




Zgodnie z podaną wcześniej zasadą indukcji matematycznej pierwszy krok indukcyjny wykonujemy dla n = 1. Nie zawsze tak musi być.

Niech a będzię pewną liczbą naturalną. Własność dotyczącą liczb naturalnych można uznać za prawdziwą dla dowolnej liczby n ≥ a, gdy:

1. Własność jest prawdziwa dla n = a.

2. Dla dowolnej liczby naturlanej k prawdziwa jest implikacja:

Jeśli własność jest prawdziwa dla liczby k, to jest prawdziwa dla liczby k + 1.