Definicja: Cotangensem kąta α (czytaj: kotangensem) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta α do długości drugiej przyprostokątnej. Cotangens α oznaczamy w skrócie ctg α.
Definicja: Sinusem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α do długości przeciwprostokątnej. Sinus α oznaczamy w skrócie sin α.
Definicja: Cosinusem kąta α (czytaj: kosinusem) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta &alpha do długości przeciwprostokątnej. Cosinus α oznaczamy w skrócie cos α.
Wiesz już, że liczba równa tangensowi kąta nie zależy od długości boków trójkąta, ale od miary kąta. Tangens możemy więc rozpatrywać jako funkcję, która każdemu kątowi ostremu przyporządkowuje odpowiednią liczbę (jego tangens).
Podobnie cotangens, sinus i cosinus kąta zależą wyłącznie od miary kąta. Możemy zatem powiedzieć, że są to funkcje. Te funkcje nazywamy funkcjami trygonometrycznymi. Dla danego kąta α liczby tg α, ctg α, sin α i cos α to wartości funkcji trygonometrycznych dla argumentu α.
CIEKAWOSTKA: Nazwy funkcji trygonometrycznych pochodzą z łaciny. Ciekawa jest historia powstania nazwy sinus. Jak wiele innych pojęć matematycznych, także to pojęcie pochodzi z Indii. Stamtąd zostało przyswojone przez uczonych arabskich. Zwyczajem arabskim zapisywali oni hinduską nazwę sinusa bez samogłosek, jako jb. Gdy tłumacz arabskich ksiąg na łacinę natknął się na słowo jb, nie zdawał sobie sprawy, że jest ono obcego (niearabskiego) pochodzenia. Sprawdził tylko, że w języku arabskim słowo to może oznaczać zatokę. Ponieważ po łacinie zatoka to sinus, tak przetłumaczył słowo jb. Można więc powiedzieć, że nazwa sinus znalazła się w matematyce przez pomyłkę.
Przykład
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 6, a cosinus kąta przy tej przyprostokątnej wynosi 3/4. Jaką długość ma przeciwprostokątna?
a = 8
Odp. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8.
Przykład
Narysuj kąt, którego sinus jest równy 0,4.Wybieramy dwie dowolne liczby dodatnie, których iloraz jest równy 0,4, np. 2 i 5.
Rysujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 5 cm i jednej z przyprostokątnych długości 2 cm; szukany kąt leży naprzeciw tej przyprostokątnej.
Zauważ, że przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego. W takim razie stosunek długości przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej jest zawsze liczbą mniejszą od 1. Wynika stąd, że sinus i cosinus kąta ostrego są liczbami mniejszymi od 1.
Wartości sinusa i cosinusa możemy odzytywać z tablic trygonometrycznych lub obliczać za pomocą kalkulatora. Służą do tego klawisze z napisami sin i cos.
W kalkulatorach nie ma zazwyczaj klawisza służącego do obliczania cotangensa. Zwróć uwagę, że zgodnie z definicją cotangens to odwrotność tangensa. Gdy chcemy obliczyć cotangens danego kąta, możemy obliczyć tangens tego kąta, a następnie znaleźć odwrotność otrzymanej liczby.
Omawialiśmy już, jak można znaleźć za pomocą kalkulatora miarę kąta, gdy znamy jego tangens. Możemy ją także znaleźć, gdy znamy sinus lub cosinus tego kąta.
Klawisz, nad którym widnieje napis sin-1, służy do obliczania miary kąta, gdy znamy jego sinus. Analogicznie klawisz, nad którym widnieje cos-1, służy do obliczania kąta, gdy znamy cosinus kąta.
Korzystając z funkcji trygonometrycznych, możemy obliczać długości odcinków i miary kątów w różnych figurach geometrycznych.
Przykład
Ramiona trójkąta równoramiennego mają długość 6 cm. Kąt między tymi ramionami ma miarę 50o. Jaką długość ma podstawa tego trójkąta? Jaką długość ma wysokość opuszczona na tę podstawę?Wykonujemy rysunek pomocniczy.
Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli kąt między ramionami trójkąta na dwa równe kąty.
|AD| = 6 sin 25o
|AB| = 2|AD| = 12 sin 25o
Wartość sin 25o odczytujemy z tabeli lub obliczamy za pomocą kalkulatora.
|AB| ≈ 12 ⋅ 0,4226 ≈ 5,1 [cm]
|CD| = 6 cos 25o
Wartość cos 25o odczytujemy z tabeli lub obliczamy za pomocą kalkulatora.
|CD| ≈ 6 ⋅ 0,906 ≈ 5,4 [cm]
Odp. Podstawa trójkąta ma około 5,1 cm długości, a wysokość około 5,4 cm.
Przykład
W rombie o boku długości 4 cm dłuższa przekątna ma 6 cm długości. Jakie miary mają kąty tego rombu?Przekątne rombu są prostopadłe, przecinają się w połowie swojej długości i dzielą kąty rombu na dwie równe części.
|∠DAB| = 2α
W trójkącie ABS
Odczytujemy z tabeli lub obliczamy za pomocą kalkulatora miarę kąta, którego cosinus wynosi 0,75
α ≈ 41,4o
|∠DAB| = 2α ≈ 83o
Korzystamy z tego, że suma miar sąsiednich kątów rombu wynosi 180o
|∠ADC| = 180o - |∠DAB| ≈ 97o
Odp. Sąsiednie kąty tego rombu mają miary około 83o i około 97o.
