Jeżeli liczby a i b są nieujemne, to 
.
liczby a i b są nieujemne - założenie twierdzenia,
Jeżeli bok kwadratu ma długość a, to jego przekątna ma długość 
.
bok kwadratu ma długość a - założenie twierdzenia,
jego przekątna ma długość
Nawet jeśli twierdzenie nie jest zapisane w postaci implikacji, to zwykle można je na implikację "przerobić". Na przykład twierdzenie:
Suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą.
można sformułować tak:Jeśli dwie liczby są parzyste, to ich suma też jest liczbą parzystą.
Udowodnienie twierdzenia w postaci implikacji polega na wykazaniu, że ta implikacja jest zawsze prawdziwa.
Najczęściej stosowane są dwa rodzaje uzasadnienia, że implikacja jest prawdziwa. Jeden z nich nazywamy dowodem wprost, a drugi (jak łatwo się domyslić) dowodem nie wprost.
dowód wprost:
założenie
↓
teza
Gdy twierdzenie w postaci implikacji dowodzimy metodą wprost, postępujemy w następujący sposób: przyjmujemy, że prawdziwy jest poprzednik (założenie) i wykazujemy prawdziwość następnika (tezy). Zatem pokazujemy, że jeśli założenie jest prawdziwe, to teza także jest prawdziwa.W tym sposobie dowodzenia zakładamy prawdziwość poprzednika implikacji, a nie rozpatrujemy przypadku, gdy poprzednik jest fałszywy. Zauwazmy, że nie musimy rozpatrywać tego przypadku, gdyż przy fałszywym poprzedniku implikacja jest zawsze prawdziwa, niezależnie od tego, jaki jest następnik.
dowód nie wprost
∼teza
↓
∼założenie
Przy dowodzeniu implikacji metodą nie wprost postępujemy w następujący sposób: przyjmujemy, że fałszywy jest następnik (teza) i wykazujemy fałszywość poprzednika (założenia), tzn. pokazujemy, że gdyby teza była fałszywa, to założenie nie mogłoby być prawdziwe.
W tym sposobie dowodzenia zakładamy fałszywość następnika implikacji, a nie rozpatrujemy przypadku, gdy następnik jest prawdziwy. Zauważmy, że nie musimy rozpatrywać tego przypadku, gdyż przy prawdziwym następniku implikacja jest zawsze prawdziwa (niezależnie od tego, jaki jest poprzednik).
W matematyce często też można spotkać twierdzenia, które zapisane są w formie równoważności. Aby udowodnić tak sformułowane twierdzenie, musimy udowodnić dwie implikacje. Na przykład, aby udowodnić równoważność:
Iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą ⇔ liczba a jest parzysta lub liczba b jest parzysta.
musimy udowodnić implikację:
Iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą ⇒ liczba a jest parzysta lub liczba b jest parzysta.
oraz implikację odwrotną:
Liczba a jest parzysta lub liczba b jest parzysta ⇒ iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą.
