Budowanie zdań
Zdania, które wypowiadamy w języku potocznym, mogą być długie lub krótkie, ładnie lub brzydko sformułowane. Nasze wypowiedzi magą też być wieloznaczne i mogą wyrażać różne subtelne uczucia.
Z punktu widzenia logiki uczucia wyrażane w zdaniu są nieistotne, ważne jest natomiast, czy zdanie jest poprawnie zbudowane oraz jaką ma wartość logiczną, tzn. czy jest prawdziwe czy fałszywe.
Omówimy teraz kilka sposobów budowania zdań w logice matematycznej. Połączenie zdań spójnikiem iW języku potocznym słowo i może być użyuwane w wielu znaczeniach. W logice, budując zdania złożone, używamy słowa i wyłącznie jako spójnika, który łaczy zdania.
Definicja: Zdanie otrzymane z dwóch prostszych zdań przez połączenie ich spójnikiem i nazywamy koniunkcją tych zdań. Koniunkcję uznajemy za prawdziwą tylko wtedy, gdy oba jej składniki są zdaniami prawdziwymi.
Połączenie zdań spójnikiem lubW języku polskim słowo lub oznacza często to samo co albo.
W logice przyjmujemy, że zdania połączone spójnikiem lub nie muszą się wykluczać wzajemnie.
Definicja: Zdanie otrzymane z dwóch prostszych zdań przez połączenie ich spójnikiem lub nazywamy alternatywą tych zdań. Alternatywę zdań uważamy za prawdziwą, gdy przynajmniej jeden z jej składników jest zdaniem prawdziwym.
W matematyce bardzo często używamy wypowiedzi, w których występują zmienne i których wartości logicznej nie można ocenić. Oto przykłady:
Liczba n2 + 1 jest liczbą parzystą
2a +5 < 7
Takie wypowiedzi logicy nazywają formami zdaniowymi (nie uważają ich za zdania). Nie można ocenić, czy forma zdaniowa jest prawdziwa czy fałszywa. Wartość logiczną możemy ustalić dopiero wtedy, gdy z formy zdaniowej utworzymy zdanie.
Forma zdaniowa staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennych wstawimy konkretne wielkości, a także wtedy, gdy poprzedzimy ją wyrażeniem Dla każdego... lub Istnieje.... Otrzymane w ten sposób zdanie może być prawdziwe lub fałszywe.
Wyrażenie Dla każdego... nazywamy kwantyfikatorem ogólnym (lub dużym), a wyrażenie Istnieje... nazywamy kwatyfikatorem szczegółowym (lub małym).
Zaprzeczenie zdania
Definicja: Zdanie otrzymane przez zaprzeczenie danego zdania nazywamy negacją tego zdania. Negacja zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, a negacja zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym.
Budowanie zdań z użyciem wyrażenia Jeżeli..., to...W języku potocznym zdania, wktórych występują wyrażenia Jeżeli..., to..., odbieramy jako wynikanie - z pierwszej części zdania ma wynikać druga część. Na ogół za absurdalne uważamy połączenie za pomocą wyrażeń Jeżeli..., to... dwóch zdań, których treść nie ma ze sobą związku. Na przykład zdanie: Jeśli zdrowo się odżywiasz, to liczba 4 jest parzysta. - uznamy w języku potocznym za bezsensowne. Pamiętajmy jednak, że w logice nie rozstrzygamy, czy treść budowanych zdań jest absurdalna czy nie. W logice tego typu zdania uważamy za poprawnie zbudowane i powinnismy umieć określić ich wartość logiczną.
Definicja: Zdanie złożone, które otrzymujemy po połączeniu dwóch zdań słowami Jeżeli..., to... nazywamy implikacją. Zdanie występujące po słowie jeżeli nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie występujące po słowie to nazywamy następnikiem implikacji.
Łatwo nam jest uznać za prawdziwe te implikacje, w których poprzednik i następnik są zdaniami prawdziwymi.
Definicja: Przyjmujemy, że implikacja jest zdaniem fałszywym tylko wówczas, gdy jej poprzednik jest zdaniem prawdziwym, a następnik zdaniem fałszywym. W pozostałych przypadkach implikację uznajemy za prawdziwą.
Implikację możemy zapisać krócej, używając symbolu ⇒. Zamiast słów Jeżeli..., to... możemy wstawić znak ⇒ między poprzednikiem i następnikiem.
Czytamy: Jeśli pierwiastek kwadratowy z liczby a jest równy 3, to liczba a równa jest 9.
Jeśli zamienimy poprzednik z następnikiem danej implikacji, to otrzymamy implikację, którą nazywamy odwrotną do danej.
IMPLIKACJA
IMPLIKACJA ODWROTNA
Implikacja odwrotna do prawdziwej nie zawsze jest implikacją prawdziwą.
Budowanie zdań za pomocą wyrażenia wtedy i tylko wtedy, gdy
Gdy połączymy spójnikiem i implikację oraz implikację do niej odwrotną, to otrzymane zdanie (lub formę zdaniową) możemy zapisać krócej za pomocą symbolu ⇔.
Przykład:
Taką koniunkcję możemy zapisać krócej:
Definicja: Dwa zdania połączone wyrażeniem wtedy i tylko wtedy, gdy nazywamy równoważnością. Równoważność uznajemy za prawdziwą, gdy każde z połączonych zdań jest prawdziwe lub gdy oba są fałszywe.
Wykorzystano fragmenty książki "Matematyka z plusem"
| 
